浅探纸锥下落快慢与纸锥大小的关系

浅探纸锥下落快慢与纸锥大小的关系

陆文彬

(扬州市梅岭中学  江苏 扬州 225000)

摘要：初中物理苏科版八年级上册第五章《物体的运动》中第二节《速度》设有活动5.5比较纸锥下落的快慢。本文通过实验探究了锥角相同但扇径不同纸锥下落的快慢情况，并进行了理论推导和归纳总结，希望能得到各位同仁的润色。

关键词：纸锥   锥角  下落快慢

初中物理苏科版八年级上册第五章《物体的运动》中第二节《速度》设有活动5.5比较纸锥下落的快慢。众所周知，纸片在下落的过程中容易出现忽左忽右飘动，容易碰到课桌或其它的物体而改变路径，其轨迹不能保持直线；教材将纸做成纸锥，能较好的保持竖直下落，直观简洁。教材中只比较了扇径大小（扇径是指制作时扇形的半径大小，如图1、2所示的扇形，以下简称扇径）相同而锥角不同的纸锥的快慢。实际教学中，笔者又启发学生猜想了锥角相同但扇径不同的纸锥下落谁快谁慢，大部分学生认为是扇径大的快，少部分学生认为扇径小的快。笔者鼓励学生寒假积极进行探究，激发学生学习的兴趣，培养学生善于思考勇于实践的习惯。借此文对实验过程和理论推导进行了归纳总结，希望能得到各位同仁的润色。

1.实验探究

实验器材：卷尺、米尺、秒表、不同大小的纸锥（如下图）

实验原理：速度 ，采用了“裁判法”——通过相同路程比时间的长短。

实验步骤：

（1）以扬州电视报普通纸张为原材料，分别裁剪出3个大小不同的扇形，分别量出其半径和被剪去的圆心角，制作三个不同的纸锥，如图1、2、4所示。

（2）以扬州电视报广告油印纸张（材质比普通纸张密度稍大，硬度稍硬）为原材料，同上述步骤制作三纸锥。

（3）测量门的上沿距离地面的高度，即纸锥下落的高度h，记录在实验表格；

（4）用秒表分别记录下6个纸锥下落的时间，将测量结果记录在表格中，尽量减小实验过程中的误差^[1]。

普通报纸的纸锥实验数据

表一

彩色报纸的纸锥实验数据

表二

实验结论：

结论1：由表一1、2两组数据可以看出纸锥下落的时间与被减扇形的圆心角有关，圆心角θ越大，即锥角α越小，下落越快；

结论2：由表一1、3两组数据可以看出纸锥下落的时间与扇径无关，即与制作纸锥圆的半径大小无关；

结论3：综合比较表一、二可以得出相同纸质的情况下，纸锥下落的快慢与扇径无关，但与纸锥锥角有关。

2.理论推导

     为什么纸锥下落快慢与扇径大小无关，而由锥角的大小决定呢？

根据流体动力学，纸锥在下落过程中所受空气的阻力大小为 （其中 为比例系数， 为气体的密度， 为迎风面积， 为速度大小）

设纸的密度为 ，纸的厚度为 ，纸锥的半径为 ， 为剪掉纸锥的圆心角，纸锥的质量 。

图一中纸锥的迎风面积为  

则纸锥下落的加速度

化简，得：

（其中 ）

由上式可以看出纸锥下落时作加速度减小的加速运动（如图5所示），且 越大即锥角α越小，加速度 越大，纸锥下落得也就越快^[2]，即比较图1和图2中的纸锥，纸锥2先落地，结论1得证。

类似的处理方法，同理可证明得出锥角相同，而扇径不同的纸锥加速度

（其中 ）

可以看出纸锥下落时仍作加速度减小的加速运动，进一步可以看出纸锥下落的加速度与纸锥的扇径大小无关，因此两个纸锥3、4将同时落地。

备注

[1]该实验过程中的误差来源于较多方面：1、制作纸锥过程中带来的技术上实验的误差；2、卷尺测量门高度的过程中的测量误差；3、生乙与生甲协调合作中由于生乙反应时间带来的误差；4、纸锥下落的初始位置是否在同一高度所带来的误差……，实验中要尽量的减小各方面操作过程中所带来的误差。

[2]理论推导只证明了下落的加速度与扇径大小和被减纸锥圆心角的关系，这里解释一下为什么加速度 越大，纸锥下落得也就越快。在处理时我们采用的是图像法，我们知道当纸锥下落到最后阶段时将是作加速度 的匀速直线运动。可以求出收尾速度 （其中 ），被剪去的纸锥圆心角 越大，收尾速度也越大。由图6可知，下落高度即图中所围阴影面积相同时，收尾速度大的下落时间短。